Ch6 · 动力学非线性

📖 6.1 本章概览

动力学非线性 = 时间相关问题（含惯性与阻尼）。核心：将 PDE 离散为常微分方程组，用时间积分算法逐步推进。惯性项仍是线性的，非线性来源仍是前几章的几何/材料/边界非线性。

6.1 引言：三种动力学问题（瞬态、稳态、波动）
6.2 线性系统的动力学分析（模态叠加）
6.3 数值时间积分（隐式 / 显式）
6.4 非线性动力学（NR + 时间积分）
6.5 显式 vs 隐式对比
6.6 商业软件中的时间步控制

适合方向：汽车碰撞仿真（LS-DYNA）、地震响应、疲劳、轮胎稳态滚动、鸟撞、手机跌落等高速动力学问题。

图 6.x 动力学问题分类：瞬态 / 稳态 / 波动

📐 6.2 动力学方程

6.2.1 运动方程

(6.18)

Md̈ + Cḋ + Kd = F(t)

其中 M 质量矩阵（恒定），C 阻尼矩阵（Rayleigh），K 刚度矩阵（可随状态变化）。

图 6.x 一致质量矩阵 vs 集中质量矩阵的对比

6.2.2 质量矩阵

一致质量矩阵：∫ ρ N^TN dV（更精确）
集中质量矩阵：对角化，显式积分更高效
Row-sum / Hinton 方法：构造对角 mass matrix

6.2.3 Rayleigh 阻尼

(6.20)

C = α_M · M + α_K · K

α_M、α_K 由目标频率处阻尼比反算。优点：解耦模态；缺点：与频率脱节。

质量矩阵——为什么显式求解需要"对角化"

显式积分要求 d̈ = M^-1 · (...) 。如果 M 是集中（对角）矩阵，逆矩阵就是简单的 1/diag，极大提速。一致矩阵需要解线性方程组。

⏱️ 6.3 时间积分方法

图 6.x 三大类时间积分方法对比

6.3.1 三大类

方法	类型	稳定性	特点
中心差分 (CDM)	显式	条件稳定	Δt ≤ Δt_cr
Newmark-β	隐式	无条件 (β≥1/4)	需要 NR 迭代
HHT-α	隐式+阻尼	无条件	数值阻尼

6.3.2 中心差分法 (CDM)

(6.33)

ḋ_n ≈ (d_n+1 − d_n-1) / (2Δt)

d̈_n ≈ (d_n+1 − 2d_n + d_n-1) / Δt²

(6.35)

d_n+1 = 2d_n − d_n-1 + Δt² · M^-1 · (F_n − K·d_n)

显式：直接计算 d_n+1。需要两个初始条件：d₀ 和 d_-1（用 Taylor 展开从 d̈₀ 计算）。

6.3.3 Newmark-β 隐式法

(6.45)

d_n+1 = d_n + Δt · ḋ_n + (Δt²/2)[(1−2β) d̈_n + 2β d̈_n+1]

ḋ_n+1 = ḋ_n + Δt · [(1−γ) d̈_n + γ d̈_n+1]

β = 1/4, γ = 1/2 → 平均加速度法（无条件稳定）。
β = 0, γ = 1/2 → 中心差分（条件稳定）。

每步需要解 M+γΔt C+βΔt² K · d_n+1 = ... + NR 迭代。

图 6.x Newmark-β 时间积分的几何解释

6.3.4 HHT-α 阻尼方法

对运动方程左乘 (1+α)，引入数值阻尼，抑制高频振荡（沙漏）。当 α → 0 时退化为 Newmark。

⚖️ 6.4 显式 vs 隐式

图 6.x 显式与隐式时间积分的稳定性区域

核心权衡

🚀 显式（CDM）：极快（无需刚度求逆/组装），但Δt 极小。适合高速冲击、短时、接触多问题（汽车碰撞仿真、鸟撞、手机跌落）
🐢 隐式（Newmark）：每步解线性方程组，但 Δt 可大。适合低频、长时间、几何非线性（结构地震响应、轮胎稳态滚动）

6.4.1 CFL 稳定条件

(6.55)

Δt ≤ Δt_cr = L_min / c = L_min · √(ρ/E)

L_min：最小单元长度；c：波速；ρ：密度；E：弹性模量。

钢 Δt_cr ≈ 1e-6 s（10mm 单元），远小于仿真时长 → 显式积分需要百万个时间步。

🔁 6.5 非线性动力学迭代方案

6.5.1 组合策略

把时间积分 + NR 结合：

时间步 n：当前 t = nΔt
外循环（NR）：解平衡方程，找当前 d_n+1
内循环：解局部残差 → 更新 K_T
收敛判断：力残差 / 能量

6.5.2 显式动力学 = 简化

显式时间步无需 NR 迭代，但每个时间步都需要重算内力（几何/接触/材料），计算量也不小。

🏗️ 6.6 商业软件时间步控制

Abaqus / Standard（隐式）：

全自动时间步长 + 二分法（不收敛就减半）
最大/最小 Δt 限制
半步残差检查

Abaqus / Explicit（显式）：

稳定极限自动估算 Δt_cr
质量缩放（mass scaling）拉长 Δt（牺牲精度）
可与材料 ERODE 失效准则联用

LS-DYNA（显式，汽车碰撞事实标准）：

显式中心差分
接触算法丰富（NTS、STS、单面）
材料库齐全（金属、橡胶、复合材料、土壤）

💡 6.7 工程例子

💡 例 6.1 Row-sum 和 Hinton 集中质量矩阵

1D 杆单元 L：A 截面，ρ 密度。

Row-sum：(ρAL/2) · diag(1, 1) = lumped mass
Hinton：(ρAL/2) · α · diag(2/8, 6/8)，α = ρAL/(ρAL/4 + 3ρAL/4) = 2，确保总质量守恒

💡 真实工程：汽车正面碰撞

🚗 整车 100-150 ms，5-10 万单元
🚀 显式积分（LS-DYNA）单步 Δt ≈ 1e-6 s
💻 整车计算 100-1000 CPU 小时
🛡️ 为约束系统（气囊、安全带）调参 + 100+ 次 DOE

💡 真实工程：鸟撞发动机风扇叶片

🐦 鸟体视为流体（SPH 或 ALE）+ 叶片为弹塑性（CEL 耦合）
🚀 显式积分处理大变形 + 材料失效（*MAT_EROSION）
⏱️ DC - 持续数毫秒，但 Δt 极小

💡 真实工程：结构地震响应

🌍 持续 30-60 s 地震波
📊 隐式积分（Newmark β=1/4）Δt = 0.01 s
📈 计算材料塑性累积损伤
📋 用于抗震设计规范校核

📌 6.8 本章总结

✅ 动力学方程：Md̈ + Cḋ + Kd = F
✅ 质量矩阵（一致 / 集中）与 Rayleigh 阻尼
✅ 显式（CDM）vs 隐式（Newmark）时间积分
✅ CFL 稳定极限 Δt_cr = L_min/c
✅ HHT-α 数值阻尼
✅ 商业软件：Abaqus/Standard（隐式）、Abaqus/Explicit、LS-DYNA
✅ 工程应用：碰撞、跌落、地震响应、轮胎、鸟撞

📍 整车被动安全仿真几乎完全依赖本章的显式动力学（LS-DYNA + RADIOSS + Abaqus/Explicit）。

📝 6.9 习题（PDF p480-488）

6.1 质量矩阵推导
6.3 中心差分法手算（2 自由度系统）
6.8 Newmark-β 隐式积分
6.12 Rayleigh 阻尼参数选取
6.15 隐式 vs 显式选择
6.18 CFL 极限与单元尺寸关系
6.22 模态叠加 vs 直接积分（线/非线性）
6.25 用 MATLAB 写显式积分程序

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第 6 章 · 时变问题的有限元分析