Ch4 · 材料非线性（弹塑性）

📖 4.1 本章概览

本章讨论材料非线性中最常见也最复杂的弹塑性。核心：载荷-卸载行为不可逆，应力-应变依赖历史，需要本构积分算法逐载荷步更新。

4.1 引言：弹塑性与路径相关性
4.2 一维弹塑性：屈服 / 流动 / 硬化
4.3 多维弹塑性：屈服准则 / 流动法则
4.4 大变形弹塑性：客观应力率
4.5 超弹塑性：乘法分解 F = F^e · F^p
4.6 例子：板弯曲、压力容器
4.7 MATLAB 代码实现

图 4.x 弹塑性应力-应变：弹性加载→屈服→塑性流动→硬化→卸载（永久变形）

📏 4.2 一维弹塑性

4.2.1 基本概念

屈服：应力达到 σ_Y 后，材料开始塑性变形（永久变形）
应变分解：ε = ε^e + ε^p （小变形下加法分解有效）
硬化：屈服面随塑性应变移动 / 膨胀
流动法则：dε^p = dλ · ∂g/∂σ（g 是塑性势函数）

σ = E · (ε − ε^p) （应力只与弹性应变有关）

图 4.x 一维弹塑性应力-应变曲线：弹性段 + 屈服点 + 塑性段 + 卸载（弹性恢复）

4.2.2 各向同性硬化 vs 运动硬化

各向同性硬化：屈服面均匀膨胀（σ_Y 增大）
运动硬化：屈服面平移（σ_Y 不变，处理包辛格效应）
混合硬化：两者组合

4.2.3 1D 本构积分（返回映射 + 塑性校正）

试应力：ε^tr = ε_n + Δε；σ^tr = E · ε^tr
屈服判断：若 |σ^tr| ≤ σ_Y，材料保持弹性（σ_n+1 = σ^tr，ε_n+1^p = ε_n^p）
塑性校正：若 |σ^tr| > σ_Y，计算 Δε^p = (|σ^tr| − σ_Y) / (E + H)，更新 σ_n+1

(4.24)

σ_n+1 = σ^tr − sgn(σ^tr) · E · Δε^p

核心：返回映射（Return Mapping）

先按弹性更新试应力，再把超出的部分"拉回"到屈服面。这是绝大多数本构积分算法的骨架。

图 4.5 返回映射算法：弹性试算 → 塑性校正 → 落到屈服面

💡 例 4.1 一维弹塑性拉伸

F = 12 kN，A = 10⁻⁴ m² → σ = 120 MPa。E = 100 GPa，H = 10 GPa，σ_Y = 100 MPa。

ε⁽¹⁾_e = 100/100000 = 0.001
Δσ = 20 MPa，Δε⁽²⁾_e = 20/100000 = 0.0002
Δε⁽²⁾_p = 20/10000 = 0.002
ε_e 总 = 0.0012，ε_p = 0.002

总应变 = 0.0032，仅 0.0012 是弹性的，其余 62.5% 是塑性。这体现"少量应力超过 σ_Y 就会引起大量塑性变形"。

🔩 4.3 多维弹塑性

4.3.1 屈服准则

f(σ) = σ_eq − σ_Y ≤ 0 （屈服面内：弹性；面上：塑性）

常见等效应力 σ_eq：

von Mises（金属常用）：σ_eq = √(3/2 · s:s)，其中 s = σ − (tr σ/3) I 是偏应力张量
Tresca（最大剪应力）：σ_eq = σ₁ − σ₃
Drucker-Prager（岩土）：含静水压力项
Mohr-Coulomb（岩土）：τ = c + σ·tan φ

4.3.2 Von Mises 屈服准则

(4.65)

σ_eq = √(3/2 · s:s) = √(3·J₂)

(4.68)

f(σ) = σ_eq² − σ_Y² = 3J₂ − σ_Y² = 0

J₂ 是偏应力张量的第二不变量。在 2D 主应力空间，von Mises 是椭圆，Tresca 是六边形。von Mises 包络 Tresca → Tresca 更保守。

图 4.11 von Mises（椭圆）vs Tresca（六边形）屈服面在 2D 主应力空间

4.3.3 硬化模型

各向同性硬化：

(4.71)

σ_Y(ε_p) = σ_Y0 + H · ε_p

运动硬化（线性 Ziegler）：

(4.80)

dα = (2/3) · C · dε_p （α 是背应力）

4.3.4 关联流动法则

(4.90)

dε_p = dλ · ∂f/∂σ（dλ ≥ 0，Kuhn-Tucker 条件）

关联流动保证塑性应变沿屈服面法向。

4.3.5 一致性条件

(4.95)

df = (∂f/∂σ):dσ + (∂f/∂σ_Y) · dσ_Y = 0（加载时 f = 0 必须保持）

🌐 4.4 大变形客观应力率

小变形假设下 dσ 已足够。大变形下Cauchy 应力的物质导数不满足刚体转动不变，需要客观应力率（objective stress rate）：

Jaumann 率：σ^▽J = dσ/dt − W·σ − σ·W^T（用 spin 张量 W）
Truesdell 率：σ^▽T = J · d(J⁻¹σ)/dt
Green-Naghdi 率：用 R 计算

本构：σ^▽ = D^e : dε^e

图 4.x 大变形弹塑性的客观应力率（Jaumann / Truesdell）

🌟 4.5 超弹塑性：乘法分解

小变形假设不成立时，加法分解 ε = ε^e + ε^p 失效（塑性变形很大，应变不能线性求和）。

Lee 提出的乘法分解：

(4.110)

F = F^e · F^p

F^e = 弹性部分（卸载后可恢复），F^p = 塑性部分（中间构形）。

应力只在弹性部分产生：σ = (1/J) · ∂W^e/∂E^e
流动法则：L^p = dF^p/dt · (F^p)^-1

复杂但几何+材料非线性同时处理，是大变形塑性问题的"黄金标准"。

图 4.x 乘法分解：F = F^e · F^p（Lee 1969）

💻 4.6 数值积分算法

4.6.1 本构积分

关键算法：

返回映射（Radial Return）：各向同性硬化
Closest Point Projection：一般屈服面
Cutting Plane：隐式积分
Euler 后向 / Crisfield 等

4.6.2 切线模量

(4.115)

D^ep = D^e − D^e · n · n^T · D^e / (H' + n^T · D^e · n)

其中 n = ∂f/∂σ 是塑性流方向，H' 是硬化模量。一致切线模量保证 NR 二次收敛。

图 4.x 一致切线模量算法

4.7 MATLAB 代码（第 4.6 节）

第 4.6 节给出弹塑性 1D 杆单元 + 返回映射的 MATLAB 实现（PDF p320-340）。

图 4.x 弹塑性 1D 杆返回映射 MATLAB 代码

图 4.x 3D 弹塑性板弯曲：塑性区演化

💡 例 4.7：板的弹塑性弯曲

板在弯曲时：中性层一侧拉伸屈服、另一侧压缩屈服。弯曲刚度（D）会随载荷增加而非线性退化。

典型问题：汽车车门侧面碰撞吸能（薄壁梁弯曲塑性铰）。

图 4.x 工程应用：板料冲压成形（多步弹塑性分析）

📌 4.7 本章总结

✅ 弹塑性是路径相关的（不可逆）
✅ 一维核心：返回映射（试应力 → 塑性校正）
✅ 多维关键：屈服准则（von Mises / Tresca / Mohr-Coulomb）+ 流动法则
✅ 硬化：各向同性、运动、混合
✅ 大变形弹塑性需客观应力率（Jaumann）
✅ 超弹塑性：F = F^e · F^p（最终方案）
✅ 工程价值：金属成形、碰撞、压力容器、焊接

第 5 章将进入边界非线性（接触）。

📝 4.8 习题（PDF p350-372）

4.1 一维塑性分解（总应变 ε = 0.003，求各部分）
4.2 加载-卸载的塑性应变计算
4.5 1D 杆的 NR 迭代
4.6 von Mises 准则（多维应力状态）
4.10 返回映射算法手算
4.15 包辛格效应（运动硬化）
4.20 Tresca 与 von Mises 比较
4.25 用 MATLAB 写弹塑性程序

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第 4 章 · 有限元分析 - 弹塑性材料